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 Problème de poulies

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Mattelaer Olivier
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(pré)Nom : Mattelaer Olivier
Date d'inscription : 02/12/2005

MessageSujet: Re: Problème de poulies   Sam 12 Mai 2007 - 14:17

Je met ici une demande d'aide arrivée par email smile

mise en page faites avec http://www.gnux.be/tex2im4.php
dites ce que vous en pensez (gnux doit encore faire l'interface grapique jtenm)


Enoncé

Deux poulies sont collées l’une contre l’autre (masse poulie au grand rayon) = 2kg, (grand rayon) = 0,24m et (masse poulie au petit rayon) = 0,5kg, (petit rayon ) = 0,08m.
Leur axe commun est horizontal. On suppose leur masses réparties sur les jantes (poulie = cylindre creux). Les masses suspendues = 2kg et = 4kg, lâchées sans vitesse initiale, se déplaçant verticalement dans le même sens.

On demande :

  1. accélération angulaire du système
  2. la distance parcourue par la masse après 2secondes

Réponses a) 30, 873 rad/s² b)14, 82m

Raisonement de l\'étudiant


  1. M = Ia





    La je ne suis pas d\'accord avec la première partie, cette formule n\'existe pas

    Acc tangentielle
    ici il faut preciser de quel accélération il s\'agit, celle de la masse 1 ou de la masse 2, il ne s\'agit pas des deux meme accélération. en fait


    a = a/ r(1)
    Attention aux notations, ne pas utilsr deux fois le meme symbole pour deux choses différentes



    M(1): - T(1 )+ P(1) = m(1) a(1) à -T(1) + P(1)= m(1) R(1) a
    M2 : -T2 + P2 = m2 a2 à -T2 + Pé = m2 R2 a
    Attention M désigne le moment de force et pas la force,
    . A Partir d\'ici je ne comprend plus rien de ce que tu fais.





    Est-ce que a(1) =a(2) ?? Non
    M(2) : -T(2) +P(2) = M(2) a(2)
    -T(2) + 40 = 4a 0.08 à a = (40 - T(2)) / ( 0,32)
    R(2) T(2) = m(2)(r(2))² a
    T(2) = O.5 *(0.08) ((40 - T(2)) / 0.32 )
    8 T(2) = 40-T(2)
    9T(2) = 40 à T(2) = 4.44N
    a = (40 - 4.44) / 0.32 = 138.87 rad / s²
    à faux


  2. Delta Y (2s) = a(2) t² / 2
    = a 0.24 * 2² / 2
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Mattelaer Olivier
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MessageSujet: Re: Problème de poulies   Sam 19 Mai 2007 - 14:28

Voila une solution:

Petit préambule, je n'ai jamais donné cette partie de cour en Médecine, je ne suis donc pas au courant de vos conventions. Je vais donc utiliser les conventions des bioingénieurs, en explicitant a chaque fois ce que chaque lettre/symbole signifie.

Je vais éviter d'utiliser trop les notations vectoriels, ne sachant pas trop a quelles points celles ci ont été utilisées. Ceci n'est donc pas l'optimum pour les physiciens qui doivent utiliser la notation vectorielle.

Pour les conventions de signes: j'ai pris que l'accélération angulaire étais positive dans les sens horloger.

J'ai également supposés (sans perte de généralité) que les deux masses étaient du coté gauche de la poulie. Le fait qu'elles soient toutes les deux du meme coté est imposé par l'énoncé. (Le choix de gauche permet juste de fixer les signes univoquement).

Solutions

Pour commencer, il est important de constater que nous avons trois objet différent.

  1. La masse
  2. La masse
  3. La poulie (de moment d'inertie )


Ces objets exercent des forces les uns sur les autres. Ces forces sont responsables du mouvement. Nous devons donc faire des bilans de forces sur chaque objet séparément.


  1. Masse

    Deux forces s'exercent sur cet objet: La gravité et la tension de la corde.
    En regardant la composante verticale:

    (, positif si l'objet monte!)

    De plus n'est pas arbitraire. En effet la poulie tourne et la corde s'enroule autour de celle-ci sans glisser. Nous avons donc que la vitesse de la masse (noté ) est lié a la vitesse de rotation de la poulie par la formule: . En dérivans cette équation nous avons bien sur la relation équivalente pour les accélérations:. ou est l'accélération angulaire de la poulie.

    L'équation ci-dessus se réécrit donc:


  2. Masse

    Si tu as compris ce qui se passe pour la masse 1, tu comprendras que tous est exactement similaire pour la seconde, il n'y a que les masses et les rayons impliqués qui changent. Le fait que les masses avancent dans le meme sens nous indique qu'il n'y a pas de problème de signe (sinon nous aurions du prendre )



  3. Poulie

    La poulie, contrairement au masse est soumies a un mouvement de rotation et non pas un mouvement de translation. L'absence de mouvement de translation implique donc que la somme des forces doit etre nul:
    (toujours en composante horizontale)

    est la force appliquée par le mur pour maintenir la poulie. On ne sait rien de cette force a part qu'elle s'exerce au centre de la poulie.
    cette dernière equation n'as que peu d'interet quisqu'il amène une nouvelle inconue: , nous ne l'utiliserons donc pas.

    Concentrons donc nous sur le mouvement de rotations:
    Nous savons que celuis-ci est régis par l'équation:

    ou est le moment de force de la force

    Nous allons donc commencer par calculer le moment de force de chacune de nos 5 forces:

    1. moment de force de la corde 1
      le bras de levier est de
      l'angle est de 90°
      =>
    2. moment de force de la corde 2
      le bras de levier est de
      l'angle est de 90°
      =>

    3. moment des 2 forces de gravité
      le bras de levier est car les forces s'appliquent au centre de gravité du cylindre c'est a dire au centre de celui-ci


    4. moment de la forces de réaction du mur
      le bras de levier est car cette force s'applique au centre de la poulie




    Nous avons donc

    (attention au signes, ceux ci sont obtenus par les règles vectorielles,(règle de la main droite)



Resolutions des equations

Nous nous retrouvons donc devant trois équations a trois inconues. Le système est donc (a priori) résolubles.

Remarque: A partir d'ici nous ne faisons plus de la physique mais des math!!

Les 3 équations a résoudre sont donc:



où les trois inconues sont

La seule variable qui nous interesse vraiment c'est
En multipliant la première équation par , la seconde par et en additionant les Trois on obtient facilement:


Ce qui donne donc l'accélération angulaire:

on vérifie aisément

  • que l'expression a gauche donne bien une accélération angulaire
  • Que cette accélération est négative: cela veut dire que la roue tourne dans le sens anti-horologer (du a ma convention) ce qui est normal vu la position de mes poids: du coté gauche!!
  • Qu'il y a une symétrie 1-2 (si on change les masses et les rayons)

Ceci est trois test nous indiquant que je n'ai pas faits une erreur grossière.


mouvement de la masse 1

Comme est constant, l'est aussi.
Nous avons donc un MRUA

étant négatif, le sera aussi, cela indique que la masse descend.
pour rappel, par hyppothèse, .
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