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 resolution de systemes

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Mad
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MessageSujet: resolution de systemes   Sam 7 Juin 2008 - 23:28

Au cours on a vu que un systeme non homogène admettait une solution unique si les vecteurs des coefficient du système étaient linéairement indépendants, mais je comprend pas d'où ça vient hum , est ce que ca vient du fait que rang de S = rang S0 = n pour qu'il y ait une solution unique?
merci
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Adri
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 0:55

En effet, disons que nous avons un système de m équations à n inconnues. La matrice associée au système formée des coefficients est une matrice de genre mxn, notons la A. Notre système s'écrit alors Ax=b (où x est la matrice colonne des inconnues et b la matrice colonne des solutions).

Si la matrice A est de rang n (c'est-à-dire que ses colonnes sont linéairement indépendantes) nous allons pouvoir faire des manipulations sur les lignes de la matrice complète du système (A|b) pour transformer les n premières lignes de A comme suit : (0,...,0,1,0,...,0) <= il s'agit de la ième ligne où tous les éléments sont nuls sauf celui à la ième position (pour i allant de 1 à n). Pour les n+1 ème jusque m lignes, elles seront nulles.

Nous aurons donc fait subir les mêmes manipulations à la matrice colonne b. Nous avons donc que à chaque inconnue correspond un élément de b. La solution est donc unique puisque les manipulations faites ne changent pas la solution du système de départ.

J'espère avoir pu t'aider Wink .

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Dany
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 7:19

La réponse d'Adri me semble tout à fait correcte, je vais juste rajouter 2 illustrations en me plaçant dans le cas de n équations à n inconnues. Tu as donc Ax=b avec A une matrice nxn (je note en gras les vecteurs, pour éviter qu'il y ait confusion)

1) Si rang(A) = n-1, alors en jouant sur les lignes comme l'a expliqué Adri, tu te ramènes à n-1 lignes de genre (0,...,0,1,0,...,0). La ligne restante contiendra quant à elle que des 0 : (0,...,0). L'équation correspondant à cette ligne est donc 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + ... + 0 xn = c avec c différent de zéro. Cette équation n'admet pas de solution car elle te dit que 0 =c différent de 0. Ton système d'éqations Ax=b est donc sans solution.

2) Si tu as 2 solutions différentes u1 et u2 à ton système sur lequel tu as déjà joué avec les lignes pour faire apparaître les n lignes (0,...,0,1,0,...,0). Si tu notes cette matrice A', tu as que : A'u1 = b' et A'u2 =b', donc A'u1 = A'u2, donc A'(u1-u2)=0
Or, A', si tu regardes bien, est une matrice unité car elle est de genre nxn avec à chaque fois un 1 en ième colonne de la ième ligne.
Tu as donc 0=A'(u1-u2) = Id(u1-u2) = (u1-u2). Tu dois donc avoir que (u1-u2) soit égal au vecteur nul, donc que u1 et u2 sont égaux, ce qui est contraire à ton hypothèse de départ qu'il existe 2 solutions différentes u1 et u2

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Mad
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 10:30

Merci beaucoup, je crois que j'ai compris smile
Mais pourquoi alors quand rang S = rang S0, on peut avoir une infinité de solutions ?
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tmonfort
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 10:36

En gros dans un système de n équations à n inconnues, si toutes les lignes de la matrice sont linéairement indépendantes, tu as une solution unique. Mais si tu as une ligne (ou plus) dépendante(s) des autres (c'est-à-dire qu'elle est égale à la somme de plusieurs lignes ou à un multiple etc...), alors tu te retrouves avec une infinité de solutions. Si une seule ligne est dépendante on parle de simple indétermination, si deux lignes le sont on parle de double indétermination, etc... .
Une k-indétermination (c'est-à-dire une indétermination donnée par un système dont k lignes sont dépendantes des n-k lignes restantes) signifie en fait que tu peux fixer des valeurs pour n-k inconnues, et que les k valeurs restantes sont impossible à déterminer.
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Mad
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 10:54

ok! mais pourquoi on regarde si les colonnes sont linéairement indépendantes puisque c'est les lignes qui doivent etre linéairement independantes?
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Adri
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 11:01

Je vais faire bref parce que je n'ai plus trop le temps ^^ . Ca pourra peut-être t'éclairer.

L'espace des solutions du système est contenu dans l'espace engendré par les colonnes de la matrice du système. Décompose par colonne ta matrice et fait le produit matricielle de ta matrice ligne ainsi obtenue avec ta matrice colonne des inconnues et tu verras que la solution au système est fonction des colonnes de la matrice. D'où l'indépendance linéaire des colonnes.

Le mieux serait peut-être sans doute de t'écrire ça correctement dans les petits détails mais je n'ai plus trop le temps aujourd'hui. Si tu veux je te fais ça demain de l'aprem ou si quelqu'un d'autre veut se lancer ^^.

J'espère quand même t'avoir donné l'intuition de la réponse à ta question.

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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 11:24

Merci je vais essayer smile
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Dany
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 11:48

Dans mon premier exemple, c'est le cas où c est égal à 0, ça te fait que 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 + ... + 0 xn = 0, or ça c'est toujours vérifié, peu importe tes valeurs xi. En gros, tu peux choisir n'importe quelle valeur pour "ce xi", d'où l'infinité de solutions

je te donne deux exemples plus concret pour illuster mon cas 1)

premier exemple :

Soit le système d'équations :
x + y + z = 5
2x + 2y + 2z = 6
3y +4 z= 7

ça te donne A =
(1 1 1)
(2 2 2)
(0 3 4)

la matrice complète du système (A|b) est :
(1 1 1 | 5)
(2 2 2 | 6)
(0 3 4 | 7)

Tu vois que la deuxième ligne est égale à 2x la première, donc tu peux réécrire :

(1 1 1 | 5)
(0 0 0 |-4)
(0 3 4 | 7)
et tu vois que ton système est impossible car ta deuxième ligne te dit que 0 = -4 et ça c'est impossible.

deuxième exemple :

Si ton système avait été :
x + y + z = 5
2x + 2y + 2z = 10
3y + 4z = 7
tu aurais eu :
(A|b) =
(1 1 1 | 5)
(2 2 2 |10)
(0 3 4 | 7)

système équivalent à :
(1 1 1 | 5)
(0 0 0 | 0)
(0 3 4 | 7)

Tu vois que ta deuxième ligne est toujours satisfaite, en gros, elle ne t'apprend rien
Si tu commences par ta 3ème ligne, tu as que :
3y + 4z = 7, et que donc : y = (7 - 4z)/3

Si je prends maintenant la première équation :
x + y + z = 5, tu as que
x + (7 - 4z)/3 + z = 5
équivalent à :
x - z/3 = 8/3
équivalent à :
x = (z+8 )/3

On a exprimé x et y en fonction de z, maintenant peu importe la valeur de z, si on "construit" x et y à partir de z, ça sera une solution.

Par exemple, si je dis : z = schtroumpf , alors le vecteur :
( (8+schtroumpf)/3 , (7-4schtroumpf)/3 , schtroumpf) est solution car tes 3 équations sont résolues :

(8 + schtroumpf)/3 + (7-4schtroumpf)/3 + schtroumpf = (8+7)/3 = 5
2(8+ schtroumpf)/3) + 2(7-4schtroumpf)/3) + 2 schtroumpf = 10
3(7-4schtroumpf)/3 + schtroumpf = 7 - schtroumpf + schtroumpf = 7

et schtroumpf peut prendre n'importe quelle valeur, tu as donc une infinité de solutions

Bref, ce sont 2 exemples pour te montrer que c'est possible, histoire de te donner une certaine intuition, la preuve reste à faire Smile

(j'ai pas trop compris ce que tu entendais par S et S0)

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Mad
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 12:06

merci!!
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Bao
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 13:17

Mad a écrit:
Au cours on a vu que un systeme non homogène admettait une solution unique si les vecteurs des coefficient du système étaient linéairement indépendants, mais je comprend pas d'où ça vient hum , est ce que ca vient du fait que rang de S = rang S0 = n pour qu'il y ait une solution unique?
merci
Considère que ton système est de la forme

a11x1 + ... + a1mxm = b1
a21x1 + ... + a2mxm = b2
...
an1x1 + ... + anmxm = bn

Si m > n, alors il n'y a pas de solution unique, car on a plus d'inconnues que d'équations. Si m < n, alors réécris ton système sous la forme matricielle :

A x = b

où A est la matrice nxm de composantes aij, x le vecteur (x1,...,xm) et b le vecteur (b1,...,bn). Ce système admet une unique solution s'il y a m lignes linéairement indépendantes (= m équations "qualitativement" différentes), ce qui correspond au fait que le rang de A vaut m. Et dire que le rang de A vaut m correspond au fait que A possède m colonnes linéairement indépendantes.

[Rappel : Le rang d'une matrice est la taille de la plus grande sous-matrice (carrée) admettant un déterminant non-nul.]

Voilà pourquoi on évalue l'indépendance linéaire entre les colonnes (car il y en a m et il faut qu'elles soient toutes lin. indép.). C'est plus facile que de vérifier l'indép. lin. entre m lignes (lesquelles ? vu qu'il y a n lignes au total, et m < n ...).
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Mad
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 16:25

Merci beaucoup!!
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Mad
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 21:02

J'ai encore une question, si on doit montrer que 3 vecteurs sont
lineairement independants, est ce qu'on peut les mettre dans une
matrice, par exemple en ligne, et calculer le determinant et si il
vaut 0 ca veut dire que les lignes sont lineairement independantes, ou
bien ca voudrait seulement dire que soit les lignes soit les colonnes
sont lineairement independantes, et dans ce cas la ca ne sert a rien?
ou bien si les colonnes sont lineairement independantes ca veut dire
que les lignes le sont forcement ?
désolée mais je m'y perd dans tout ca Sad merci
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Dany
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 21:40

Si le déterminant est égal à zéro, alors tes lignes ne sont pas linéairement indépendantes

Exemple (simpliste) de vecteurs indépendants dont on prend le déterminant :
|1 0 0|
|0 2 0| = 6 non nul
|0 0 3|

Si ton déterminant est non nul, alors ça veut dire que tes lignes et tes colonnes sont linéairement indépendantes, donc pour montrer que 3 vecteurs sont linéairement indépendants, tu peux les mettre dans une matrice (soit en lignes, soit en colonnes, comme tu préfères), calculer le déterminant et s'il est non nul, alors tu peux dire que tes vecteurs sont linéairement indépendants.

En bref : Si le déterminant est non nul : Et les lignes, et les colonnes sont linéairement indépendantes

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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 22:38

Désolée, je me suis emmèlée les pinceaux, je voulais dire juste le contraire Boulet c'est si on veut montrer que les vecteurs sont linéairement dépendants, est ce si le determinant de la matrice qu'on a formée avec les 3 vecteurs vaut 0 ca prouve que les lignes sont linéairement dependantes, ou bien ca ne prouve rien?
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Adri
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 22:41

Oui, si le déterminant de la matrice est nul, alors d'office une ligne (ou une colonne) (au moins) est combinaison linéaire des autres. C'est ce que vient de dire Dany Wink :
Citation :
Si le déterminant est égal à zéro, alors tes lignes ne sont pas linéairement indépendantes.

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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 22:57

ok, mais dans ce cas la, est ce que ca prouve que les vecteurs sont lineairement dependants, ou est ce que ca prouve seulement que soit mes colonnes soit les vecteurs sont lineairement dependants? par exemple :
(1 1 2)
(5 3 8 )
(7 8 15)
avec 3 vecteurs (1, 1, 2) ; (5,3,8 ) et (7,8,15)
Si je calcule le déterminant, je vais avoir zéro puisque la 3ème colonne est une combili de la 1ere et de la 2eme, masi est ce que parce que j'ai determinant qui vaut zero, je peux dire que les vecteurs sont lineairement dependants? (je sais pas comment faire autrement pour voir si les vecteurs en exemple sont linéairement dépendants ou pas Sad)
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 23:12

Oui, si tu as le déterminant qui est égal à 0, ça veut dire qu'il y a une ligne au moins qui est combili de une ou plusieurs autres lignes. Pour les vecteurs de l'exemple de Dany, tu vois tout de suite qu'ils sont linéairement indépendants : tu peux essayer de faire toutes les combilis du monde pour avoir (0,0,3) avec (1,0,0) et (0,2,0), tu n'y arriveras pas ! (Autrement dit : il n'existe aucun x et y tels que x(1,0,0) + y(0,2,0) = (0,0,3).)

Tandis que dans ton exemple, il y a moyen de trouver un x et un y tels que x(1,1,2)+y(5,3,8 )=(7,8,15) : x=19/2 et y=-1/2.
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 23:19

Si le déterminant est nul, tu as une ligne (ou une colonne) au moins qui est combili des autres (que l'on parle de ligne ou de colonne ne change rien à notre problème, il suffit de regarder la matrice debout ou coucher, c'est pareil Wink ). Donc si ta matrice est formée de tes vecteurs (mis en ligne ou en colonne, on s'en fout) et si le déterminant de cette matrice est nul, ça veut dire que tes vecteurs ne sont pas linéairement indépendants, il y en a au moins un qui est combili des autres. C'est une des propriétés qui caractérise le déterminant.

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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 23:19

Grrr Anne-Sylvie ! lol

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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Dim 8 Juin 2008 - 23:20

Héhééé... jtenm
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Lun 9 Juin 2008 - 13:58

Citation :

que l'on parle de ligne ou de colonne ne change rien à notre problème, il suffit de regarder la matrice debout ou coucher, c'est pareil Wink


hééééééééééé adrien haa1 atention au plagiat, c'est inadmissible, tu n'as pas cité tes sources !! smile3
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Adri
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MessageSujet: Re: resolution de systemes   Lun 9 Juin 2008 - 15:17

Même pas drôle Pauline...

:bravebete:

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