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 Application linéaire, noyau et image

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mathlouthi
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MessageSujet: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 1:58

Bonjour,
Voilà je sollicite votre aide pour un exercice assez facile. Je perçoit comment le raisonnement doit se faire, mais je suis pas convaincu de la présentation de ma réponse.
Pouvez vous m'aider plz. Déjà merci.


Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n, et LA, LB et LAB les applications linéaires
associées à A, B et AB.
(a) Montrez que KerLB ⊂ KerLAB,
Moi=:soit x appartient à KerLB, Bx=0, donc ABX=A0=0. Alors 0 appartient à KerLAB. Donc quand x=0, x appartient à KerLAB, on peut donc dire que KerLB est inclu dans KerLAB.
(b) Montrez que Im LAB ⊂ Im LA,
Moi=: en fait ici je trouve pas
(c) Montrez que rangAB ≤ rang B,
Moi=: rang B= n et AxB= AB tel que rang de AB aussi n
donc légalité est vérifiée
(d) Montrez que rangAB ≤ rangA.
Moi=: même chose que pour l'autre, mais j'imagine bien que c'est faux...
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Sébastien W.
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 2:38

Pour le a: aucun problème!

Le b: soit $y \in Im(L_{AB})$ c'est à dire il existe $x$ tel que $ABx=y$, donc en posant par exemple $z=Bx$ on a $Az=y$ donc $y \in Im(L_A)$.

Le reste sera pour demain ^^

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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 3:07

waw tu es entrain de me dire que je n'ai fais aucune faute pour le (a) ? c'est trop facile pour être vrai.. et bien je suis fier de moi.
merci en tout cas déjà pour ton aide.
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 10:42

Pouvez vous aussi m'aider à faire ces exercices, en fait on ne doit pas vraiment les faire mais j'ai envie de me préparer pour la deuxieme.
Au début j'étais surpris de la question j'avoue car je pensais pa squ'il y avait des appli non liénaires..
J'imagine qu'ici il faut prendre des contre exemple, j'essaye le (a) dite moi quoi
Les applications suivantes sont-elles linéaires ?
(a) L(x; y) = (2x + y; 5x − y)

(b) L(x; y) = (3x + y2; 5x − y)
(c) L(x; y) = (3x + 5; y − x)
L(x,y)= (3x+5,y-x)
L((1,2)+(3,4)) = L((4,6)) = (17,2)
L((1,2)) + L((3,4)) = (8,1) + (14,1) = (22,2)

mais qu'est ce que j'ia prouvez en faisant ça ? Je sais ça parait débile de faire des choses qu'on comrpends pas, mais je veux comprendre!
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martindel
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 11:46

Salut,
pour le (c), tu as prouvé que $L(\vec{x})+L(\vec{y})\neq L(\vec{x}+\vec{y})$ et donc, ton application n'est pas linéaire.

Pour les 2 autres, tu dois prouver que l'application satisfait à la définition, càd:
1) $L(\vec{0})=\vec{0}$
2)$L(\vec{a}+\vec{b})=L(\vec{a})+L(\vec{b})$
3)$L(\alpha \vec{a})=\alpha L(\vec{a})$

Par exemple, pour l'exercice a, ça te donne:

1) L(\vec{0})=(0,0)=\vec{0}
2) $L(\vec{a}+\vec{b})=L(a_x+b_x,a_y+b_y)=(2.(a_x+b_x)+(a_y+b_y),5.(a_x+b_x)-(a_y+b_y))=(2.a_x+a_y,5.a_x-a_y)+(2.b_x+b_y,5.b_x-b_y)=L(\vec{a})+L(\vec{b})$
3) $L(\alpha \vec{a})=(2.\alpha .a_x+\alpha .a_y,5.\alpha .a_x-\alpha .a_y)=\alpha.(2.a_x+a_y,5.a_x-a_y)=\alpha .L(\vec{a})$

Pour être rigoureux, tu dois aussi mettre que a et b appartiennent à ton espace de départ et que alpha appartient à R.


Dernière édition par martindel le Mar 4 Jan 2011 - 12:01, édité 1 fois
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martindel
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 11:53

En revanche, pour ta question plus haut, ce que tu as écrit est faux.
Ce n'est pas parce qu'une matrice est nxn qu'elle est d'ordre n.
exemple: la matrice qui a un 1 en haut à gauche et nulle partout ailleurs.

Est-ce que vous avez vu au cours le théorème du rang? Si c'est le cas, essaye en l'utilisant Wink
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 11:57

Je ne comprends plus très bien. C'est 3 condition sont celles du sous espace vectoriel non?
Pourquoi je dois vérifier ces trois conditions pouvoir si l'appli est linéaire ?
Il y a un lien j'imagine bien mais lequel? Est ce que ca veut dire que les appli liénaire ne concerne que les sous espace vectoriel et les autres sont des application non linéaire ? Est ce que ca existe déjà des applications non liénaires ? :/

Et au passage merci je vais bien Smile et toi comment vas-tu? xD

ps: je sais que c'est une signature username Very Happy
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 11:59

Ouiii on a vu ce théorème mais je ne savais pas du tout comment l'appliquer. je vais ressayer et je post

PS: c'ets quoi un boson? et pourquoi je suis un boson?
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martindel
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:01

Euh, oui, tu as raison, je me suis trompé, la première condition découle de la 2e: L(0)=L(0+0)=2*L(0) => L(0)=0.

Pour les 2 autres conditions, c'est la définition d'une application linéaire:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_lin%C3%A9aire

PS: moi aussi ça va bien Very Happy
RE-PS: Un boson, c'est un truc tout petit. Et tu es un boson parce que t'as presque pas posté ^^ ça varie en fonction du nombre de messages
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:15

J'ai évolué vers lepton!!! Very Happy ça me rappel un truc je pense que c'est des particules, j'ai pas fait physique mais j'ai toujours été intéressé par la physique Smile



Ok j'ai vu les 2 conditions. mais pourquoi ces 2 condition s'applique assi à un sev. Il doit bien avoir un lien entre app linéaire et sev donc ? Qui est selon moi les app linéaire ne concernent que les sev, correct?
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Sébastien W.
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:19

Les applications linéaires sont les fonctions qui conservent la structure d'espace vectoriel, c'est-à-dire si V un EV et L une AL alors L(V) est un EV.

Une fois que t'as ça les conditions demandées sont naturelles.

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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:29

Ok je vois le lien maintenant, notre prof l'a jamais dit ainsi tous ce qui est mis dans notre syllabus c'est Une application linéaire L : Rn → Rp est une application de la forme L(X) =
AX pour une certaine matrice A de genre p × n.
Autrement dit une application linéaire L est une application de la forme
L


x1
· · ·
xn

 =


a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn
: : :
ap1x1 + ap2x2 + : : : + apnxn



Pour le (c) montrer que rangAB ≤ rang B, si Pour toute application linéaire L : Rn → Rp, dim Ker L + dim Im L = n
L'énoncé dit : Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n, et LA, LB et LAB les applications linéaires

Donc dim Ker LB + dim Im LB = n
d'après wikipedia ( car j'ai pas cela dans mon cour!)
on a rang B + dim Im LB = dim E = 2 si jeme trompe pas
On refait la meme chose pour Ker LAB + dim Im LAB = n
rang AB + dim Im LAB = dim E
donc rang AB et bien plus petit ou égal à B

Waw le bricolage de dingue, j'iame les maths Very Happy Alors tout faux ou plus ou moiins ?
associées à A, B et AB.
Si j'ai
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:31

Oufti j'ai rater le copier ocller mais en gros la c'était un système d'équation avec L(x,..xn) = ( ax1+ax2....)
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:41

Que veut dire les conditions sont naturelles ? :/
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Sébastien W.
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:54

Ah ok si le prof le voit comme ça... Bah le truc avec la matrice c'est une propriété des applications linéaires, tout à fait équivalente aux conditions que martin a donné.

"Conditions naturelles"? Bah si tu veux définir un truc de manière à ce que ça satisfasse certaines propriétés, tu vas le définir tel que ça marche, tu vas pas dire "une applications linéaire est une salle de bain atteinte de rougeole"!

PS: on veut bien t'expliquer 2-3 trucs ou te débloquer pour un exo, mais on est pas la pour refaire tout le cours d'algèbre linéaire non plus!

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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 12:58

désolé je ne pensais pas profiter de vous..j'ai du mal à comprendre l'algèbre linéaire, en tout cas à réaliser les exercices, j'avais l'impression d'avoir compris mais quand je suis face à certain exercice pour me tester, je me rend compte que mes connaissances sont fragiles.
En tout cas merci de votre aide ça m'a pas mal aidé.
Et vraiment désolé si vous avez pensé que j'ai abusé, je ne pensais pas.
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 16:13

Pour rappel, si x,y sont des vecteurs de l'espace vectoriel V sur un corps K et alpha, un élément de K, L est une application linéaire de V dans W (aussi un espace vectoriel) si les conditions suivantes sont satisfaites:

1) L(0) = 0;
2) L(alpha*x) = alpha*L(x)
3) L(x+y) = L(x) + L(y)

Intuitivement ces conditions t'indiquent que l'application L est "transparente" aux opérations linéaires: les effectuer avant l'application de L sur les vecteurs ou après revient au même.

Existe-t-il des applications non-linéaires ? Oui, une infinité.

Par exemple, prenons f:R²->R+, (x, y) -> x^2+y^2
Cette application donne la longueur carrée du vecteur (x, y) dans le plan R².

Vérifions si elle est linéaire ou pas:

1) f(0, 0) = 0^2 + 0^2 = 0, OK.
2) f(alpha*x, alpha*y) = (alpha*x)^2+(alpha*y)^2 = alpha^2 (x^2 + y^2)

or alpha*f(x, y) = alpha*(x^2 + y^2), ce qui est différent.

La condition (2) n'est pas respectée, cette application n'est pas linéaire.

Petit exercice: vérifier que la condition (3) n'est pas respectée non-plus.

offtopic

Un boson est une classe de particules en physique. Il s'agit de toutes les particules à spins entiers (théorème spin-statistique), comme le proton ou le neutron.

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Il n'y a dans la vie que deux plaisirs: la recherche de la vérité et la recherche de l'amusement. Seule la science peut satisfaire les deux besoins. (Lao She)
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Mar 4 Jan 2011 - 16:44

Il n'y a dans la vie que deux plaisirs: la recherche de la vérité et la recherche de l'amusement. Seule la science peut satisfaire les deux besoins. (Lao She)

j'aime bien votre signature Smile c'est tellement beau et vrai !!

je vais faire votre exercices à l'instant, merci pour cette explication très complète déjà Smile c'est vraiment gentil

il faut dévelloper L(x²+y²) et montrer que c'est différent de L(x²) + L(y²).
ou plutot il faut dire juste que L(x²+y²) est différent de L(x)+L(y) car on ne sait pas développer x²+y²... [je réflechis tout haut..]


Je suis un lepton
maintenant
Plus grand
qu'un boson
j'imagine haha Smile
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MessageSujet: Re: Application linéaire, noyau et image   Jeu 6 Jan 2011 - 21:31

mathlouthi a écrit:
(a) Montrez que KerLB ⊂ KerLAB,
Moi=:soit x appartient à KerLB, Bx=0, donc ABX=A0=0. Alors 0 appartient à KerLAB. Donc quand x=0, x appartient à KerLAB, on peut donc dire que KerLB est inclu dans KerLAB.

Je m'étais fourvoyé, c'est faux.

Le début est correct, ABx=0. Mais le reste n'a aucun sens... Quand tu es la il suffit de voir que x est dans Ker LAB et donc tu conclus, il n'y a pas de problème...

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