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 Combinaison linéaire

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mathlouthi
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MessageSujet: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 12:51

Bonjour, j'ai résolu une question mais j'aimerais savoir 1. si ma méthode est correct et 2. comment présenter ma réponse.
Q: Exprimez le vecteur (2; 5; 3) comme combinaison linéaire des vecteurs (1; 2; 3), (1,1,2) et (1;−1; 1).
soit (u,t,s) une combinaison linéaire de (2,5,3)
On résoud :
u+t+s=2
2u+t-s=5
3u+2t+s=3
Après échelonnement on a
3u+2t+1t=3
0u-t+3s=1
0u+0t-s=4
j'ai (u,t,s)=(-5,11,-4)
Quand je remplace dans u+t+s=2
j'ai 11-4-5=11-9=2

Mais comment suis je censé répondre à la question? je veux dire présenter ma réponse
Comme ceci : (u,t,s)=(-5,11,-4) est une combinaison linéaire de (2,5,3)
c'est convenable ?
déjà merci.
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 13:17

Désolé si j'abuse de question, mais si je demande votre aide c'est parce que je fait du hors-piste : ces exo n'ont n'y été fait aux TPs, ni au cours, et on n'a pas les correctifs. Et pour faire du hors piste, on a besoin d'experts.
C'est la meilleure métaphore pour vous expliquer dans qu'elle situation j'ose exagérer de vous demander tant l'aide.
Merci à vous tout de même de prendre le temps de me lire et me notifier si je fais d'erreur grosse comme des montagnes Smile
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martindel
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 15:42

J'écrirais que (2,5,3)=-5.(1,2,3) +11.(1,1,2) -4.(1,-1,1) mais je ne suis pas un exemple de rigueur ^^
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Jean L.
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 15:43

Bonjour.

Ton calcul est correct. Seulement, tu ne peux pas dire que
Citation :
(u,t,s)=(-5,11,-4) est une combinaison linéaire de (2,5,3)

En effet, cela signifierait qu'il existerait un réel µ tel que µ (2,5,3) = (-5,11,-4), ce qui n'est pas le cas.
Il est plus correct de dire que (2,5,3) est, lui, combinaison linéaire des vecteurs (1,2,3), (1,1,2) et (1;−1; 1).
Ou encore, vu que nous sommes dans R3, (-5,11,-4) sont les coordonées de (2,5,3) par rapport à la base <(1,2,3); (1,1,2);(1;−1; 1)>.

En espérant avoir répondu à ta question.

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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 16:53

oui ça répond bien à ma question, je sentais bien que je n'exprimais aps comme il faut la réponse, merci à vous
Par contre comment vois tu d'un seul coup d'oeil que <(1,2,3); (1,1,2);(1;−1; 1)> est une base ? j'aimerais aquérir cette capacité Smile
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martindel
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 17:07

mathlouthi a écrit:

Après échelonnement on a
3u+2t+1t=3
0u-t+3s=1
0u+0t-s=4


Il n'y a pas d'entrée non nulle après échelonnement => dim = 3 => base
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Jean L.
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 17:16

En fait il y a deux solutions:

1) faire confiance à son instinct algébrique

2) avoir à l'esprit que une base d'un sev de dimension finie remplit les conditions suivantes qui sont équivalentes:
les vecteurs formant cette bases
-sont linéairement indépendant et forment une famille génératrice
-sont linéairement indépendant et leur nombre est égal à la dimension de l'espace (par définition de dimension)
-sont une famille génératrice et leur nombre est égal à la dimension de l'espace (par définition de dimension)

Ici, la deuxième condition est la plus facile à verifier si tu veux t'assurer que tu as bien une base (bien qu'on s'en rend compte facilement en resolvant l'exercice)
-la dimension de l'espace est 3, donc il nous faut bien 3 vecteurs
-les vecteurs sont linéairement indépendants. Pour montrer ca, il suffit de montrer que, pour former le vecteur nul (ici, (0,0,0), les seuls coefficients de la combili de ces trois vecteurs sont 0, 0 et 0. En clair
a.(1,2,3) + b.(1,1,2) + c.(1;−1; 1) =0 > a=b=c=0

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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 21:31

oufit j'ai peur que mon instinct algébrique soit pétrifié dès la première vu des exos xD

donc je vais plutot essayer de retenir la méthode 2^^ merci à toi Wink

j'ai 2 dernier exercices plutot simple mais encore j'ai peur de ne pas avoir le bon truc (méthode et présentation)
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mathlouthi
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mar 4 Jan 2011 - 22:50

Pour l'exo suivant L(x; y; z) = (x + y + z; 2x + 2y + 2z) il est demandé Very Happyéterminez la dimension ainsi qu’une base pour les espaces vectoriels KerL et Im L.

Ma résolution:
on posant
x+y+z=0
et 2x+2y+2z=0
2(x+y+z)=0
on peut exprimer enfonction de z=u
*x=-u-y
*y=-u-x
=>y=-u-u-y
=>2y=-2u
=>y=-u et x=-u+u=0
ker L = (0,-u,u) donc une base de Ker L est (0,-1,1)
Quand dite vous? est ce que c'est correct de note Ker L=(0,-u,u) ?
déjà merci pour votre aide
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martindel
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mer 5 Jan 2011 - 11:48

non

Soit tu écris Ker L ={(0,-u,u)|u$\in$R}
ou bien: Ker L=<(0,-1,1)>
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Jean L.
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MessageSujet: Re: Combinaison linéaire    Mer 5 Jan 2011 - 12:38

Premièrement, tu dois écrire ton Ker comme l'a dit Martin

Et d'ailleurs, ta réponse est fausse car le Ker est incomplet
En effet on a
x+y+z =0
x=-y-z
Par la definition: Ker L :{(x,y,z)|L(x)=0}
Ker L ={(-y-z,y,z)|y,z dans R }
ou encore Ker L= < (-1,0,1) ; (-1,1,0)>
Notons au passage que ta réponse faisit elle aussi parti du KerL, celui-ci etant un sev, on peut trouver tout les vecteurs du Ker par combili des vecteur < (-1,0,1) ; (-1,1,0)>. Dans ton cas: (0,-1,1)= 1. (-1,0,1) + (-1) .(-1,1,0)

Pour ce qui est de l'image, on cherche un sev de dimension 1 car par le thrm du rang: dim n=dim KerL +dim Im L
d'ou 3=2+dim Im L
Ici, Im L = {(x+y+z; 2x+2y+2z)|x,y,z dans R} = {(x+y+z) .(1,2)|x,y,z dans R}
D'ou ImL = <(1,2)>

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